大学物理Ⅱ典型题.ppt

（一）电磁学 共 21 题 （二）相对论 共 3 题 （三）量子力学 共 6 题 共共 21 题题 1.均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为 R的细圆 环均匀带电，总电量为 q， P是轴线上一点，离圆心 O 的距离为 x, 求 P点的场强。 dq r O x R x P 解 3 4 积分求解 由于对称性 1 2 将 分解为 在圆环上任意取一线 元 dl， 其带电量为 dq 在积分过程中， r和 保持 不变，可以提到积分号外，即 dq r O x R x P 讨论 1 环心处， x0， E0； 即远离环心处的电场相当于一个点电荷 产生的电场。 3 当 xR时， 思考 如果把圆环去掉一半， P点的场强是否等于 原来的一半 2 当 q0时， 沿轴线指向远离轴线的方向， 当 q R， 取同样高斯面， 所以得电场分 布的矢量表达 l O a bR 1 R2 rb ra 3.均匀带电球层，内半径为 R1， 外半径为 R2， 体电荷密度为  。求图中 a点和 b点电势。 解 取薄球壳，半径为 r， 厚为 dr ， 可视为均匀带电球面，其 带电量为 r dr 对 a点，此带电球面产生的电势为 对 b点，当球壳半径 r rb时，其产生的电势为 O a bR 1 R2 rb ra r dr 4.有一块大金属平板，面积为 S， 带有总电量 Q， 今在 其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不带 电。 1求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围空 间的电场分布。 2如果把第二块金属板接地，最后情 况又如何（忽略金属板的边缘效应。） σ1 σ2 σ3 σ4 解 （ 1）由于静电平衡时导 体内部无净电荷，所以电 荷只能分布在两金属板的 表面上。设四个表面上的 面电荷密度分别为 σ1、 σ2 、 σ3和 σ4。 Q S 由电荷守恒定律可知 闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板 内的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。 选一个两底分别在两个金属 板内而侧面垂直于板面的封 金属板内任一点 P的场强是 4个带电平面的电场的叠 加，并且为零，所以 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 Q S P 1 2 3 4 即 联立求解可得 电场的分布为 在 Ⅰ 区， 在 Ⅱ 区， 在 Ⅲ 区， 方向向左 方向向右 方向向右 ⅠE ⅡE ⅢE I Ⅱ III Ⅰ Ⅱ Ⅲ σ1 σ2 σ3 σ4 Q S 1 2 3 4 由 有 （ 2） 如果把第二块金属板接地 ，其右表面上的电荷就会分散到 地球表面上，所以 第一块金属板上的电荷守恒仍给出 由高斯定律仍可得 金属板内 P点 的场强为零，所以 联立求解可得 Ⅱ I Ⅱ III σ1 σ2 σ3 σ4S P 电场的分布为 ⅠE 0， ⅡE 方向向右 EIII0 O 直线 d 导 体 板 5.如图，求 O 点处感应电荷密度  。 x O 解 取导体板内很邻近 O点的 O 点，直线在 O 点产生的电场 感应电荷在 O 点产生的电场 由 总 电场 得 解 两极面间的电场 在电场中取体积元 则在 dV 中的电场能量为 6.一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为 R1和 R2， 两极面间充满相对介电常数为 r的电介质。求此电容 器带有电量 Q时所储存的电能。 L Q –Qr R1R2 S 解 根据电荷分布对壁的平分面的 面对称性，可知电场分布也具有这 种对称性。由此可选平分面与壁的 平分面重合的立方盒子为高斯面， 如图所示，高斯定理给出 7.一无限大均匀带电厚壁，壁厚为 D， 体电荷密度为  ，求其电场分布，并画出 E-d 曲线， d为垂直于壁面 的坐标，原点在厚壁的中心 。 D d E-d 曲线如图 E dO 8.两个同心金属球壳，内球壳半径为 R1， 外球壳半径为 R2， 中间充满相对介电常数为 r 的均匀介质，构成一个 球形电容器。 1 求该电容器的电容； 2设内外球壳上 分别带有电荷 Q和 -Q， 求电容器储存的能量。 解 1 已知内球壳上带正电荷 Q， 则 两球壳中间的场强大小为 两球壳间电势差 电容 2 电场能量 O R1 R2 解 1q1和 q2分别为内外球所带电量 ,由电势叠加原理 联立可得 可得 2 由 9.两个同心的均匀带电球面，半径分别为 R15.0cm， R220.0cm， 已知内球面的电势为 , 外球面的电 势为 。 1 求内外球面所带电量； 2两个球面 之间何处电势为零。 O R1 R2 10. 将一均匀分布着的电流的无限大载流平面放入 均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面两 侧的磁感应强度分别为 B1 和 B2，如图所示，求该 载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向。 解 载流平面自身在其两侧产生 的磁场为 方向相反。 均匀外磁场 B0 在平面两侧方向 相同。 由图， 载流平面产生磁场与外磁场在左侧方向相反，在右 侧方向相同。 jr 载流平面单位面积所受的磁场力 考虑长 dl，宽 dl 的电流元， 其在外磁场中受的磁场力 j r dl dl 方向 由上图中，磁力的方向向左 11. 半径为 R的圆片上均匀带电，面密度为 ，该圆 片以匀角速度  绕它的轴线旋转，求圆片中心 O 处的 磁感应强度的大小。  O 解 取 r处 dr 宽度的圆环 ,其以 作圆周 运动 ,相当于一圆电流 dI, dI 的大小为 此圆电流在圆心处产生的磁场的磁感应强度为 整个圆板在圆心处产生的磁场的磁感应强度为 12.在均匀磁场中放置一半径为 R的半圆形导线 , 电流 强度为 I,导线两端连线与磁感应强度方向夹角 30, 求此段圆弧电流受的磁力。 I a b解 在电流上任取电流元 方向 13. 如图所示 ,在均匀磁场中 ,半径为 R的薄圆盘以角速度 绕中心轴转动 ,圆盘电荷面密度为 。求它的磁矩、所 受的磁力矩以及磁矩的势能。 解 取半径为 r的环状面元 ,圆盘转动时 , 它相当于一个载流圆环 ,其电流 磁矩 R r dr  受的力矩 圆盘磁矩 方向向上 磁矩的势能为 14.一半径为 R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其 轴线上一无限长直导线的电流等值反向。电流 I在半圆 柱面上均匀分布。 1求轴线上导线单位长度所受的力 ； 2若将另一无限长直导线 通有大小、方向与半圆柱 面相同的电流 I代替圆柱面，产生同样的作用力，该 导线应放在何处 解 1在半圆柱面上沿母线取 宽为 dl的窄条，其电流 I I R 它在轴线上一点产生的磁感 应强度 方向如图 dI dl x y 由电流分布的对称性可知 方向沿 x轴 方向沿 y轴，是斥力 dI dl x y 2另一无限长直导线应平行放置于 y轴负半轴上以 d表示两直导线间的距离，则 轴线上导线单位长度受力为 15.长直导线中通有电流 I， 另一宽 a、 长 b共 N匝的矩形 线圈，以速度 v向右平动。设 t0时，线圈左边与长直 导线重合。求 t 时刻线圈中的感应电动势。 长直导线产生的磁感强度为 a v I b 解 方向如图  1 方向如图 2 方向顺时针 x 0 其中 xvt 16.在半径为 R的圆柱形体积内，充满磁感强度为 B的 均匀磁场，有一长为 L的金属棒放在磁场中 ,设磁场 在增强，并且 dB/dt已知，求金属棒中的感生电动势 ，并指出哪端电势高。 解 由法拉第定律计算 , 设想一回路 , 如 OABO, 则该回 路的感应电动势大小为 LA B O  B均匀 因 dB/dt 0,则回路中电动势方向为逆时针 , B端高 。 由于 OA和 OB两段沿径向 ,涡旋电场垂直于段元 ,这两 段不产生电动势。该电动势就是金属棒上的电动势。 x 17.导体 CD 以恒定速率在一个三角形的导体框架 MON 上运动 ,它的速度的方向垂直于 CD 向右 ,磁场 的方向如图 , B Kxcosωt, 求 CD运动到 x 处时 ,框架 COD 内感应电动势的大小、方向。 设 t 0, x 0 解一 选定回路正向，顺时针方向 h dx x C D  M O N C Dx  M O N h dx x 解二 18.矩形螺绕环共有 N 匝 , 尺寸如图。求 L D2 D1 h I L0解 设电流为 I， 取回路 L0 若矩形螺绕环中充满磁导率为 的介质 , L dS h r 19.一边长为 l 和 b 的矩形线框。在其平面内有一根平 行于 AD 边的长直导线 OO ， 导线半径为 a 。 求 该系统的互感系数。 O O b l . I 12 解 dS A B CD 20.传输线由两个同轴圆筒组成 , 内、外半径分别为 R1,R2 其间介质的磁导率为 ,电流由内筒一端流入 ,由 外筒的另一端流回，当电流强度为 I 时 , 求 l 长度传 输线内储存的磁能。 I 解 a 单位长度 L* l a b 求 任意时刻 t 在矩形线框内的感应电动势 i 并讨论 i 的方向 . 21. 如图 ,真空中一长直导线通有电流 有一带滑动边的矩形导线框与其平行共面 , 二者相 距 a, 滑动边长为 b,以匀速 滑动 。 若忽略线框中的 自感电动势 , 并设开始时滑动边与对边重合 。 a o x y ab dS 建立坐标 xoy 取 dS,其内的磁通量 为 L 顺时针 L 在 t时刻 ,矩形线框内的磁通量 其中 x vt a o x y ab a o x y ab i 的方向 当 t1时 , i为逆时针方向 当 t1时 , i为顺时针方向 共共 3 题题 1.一发射台向东西两侧距离均为 L0 的两个接收站 E与 W发射讯号 , 如 图 , 今有一飞机以匀速度 v 沿发射 台与两接收站的连线由西向东 , 求 在飞机上测得两接收站收到发 射台同一讯号的时间间隔是多少 解 设东西接收到讯号为两个事件 ,时空坐标为 地面为 S系 xE , tE,xW , tW 飞机为 S 系 xE , tE ,xW , tW 负号表示东先接收到讯号。 由洛仑兹时空变换得 2. 两只宇宙飞船 , 彼此以 0.98c的相对速率相对飞过对 方 ;宇宙飞船 1中的观察者测得另一只宇宙飞船 2的长 度为自己宇宙飞船长度的 2/5。求 1宇宙飞船 2与 1 中的静止长度之比 2飞船 2中的观察者测得飞船 1 的长度与自己飞船长度之比 解 1设飞船 1为 S,飞船 2为 S ,静长分别为 L10,L20 飞船 1测飞船 2的长度为 L2 ,飞船 2测飞船 1的长度为 L1 由题意 由长度收缩 2 3. 已知二质点 A, B静止质量均为 m0,若质点 A静止质点 B以 6m0c2的动能向 A运动 , 碰撞后合成一粒子 , 无能量 释放。求 合成粒子的静止质量 M0 解 二粒子的能量分别为 由能量守恒 , 合成后粒子的总能量为 由质能关系 EMc2 由质速关系 关键求复合粒子的速度 v 由动量守恒 对 B应用能量与动量关系 , 即 共共 6 题题 1. 在光电效应实验中，测得某金属的截止电压 Uc和入 射光频率的对应数据如下 6.5016.3036.0985.8885.664 0.8780.8000.7140.6370.541 试用作图法求 1该金属 光 电效应的红限频率； 2普朗克常量。 图 Uc和  的关系曲线 4.0 5.0 6.00.0 0.5 1.0 Uc [V ] 1014Hz 解 以频率 为横轴 ,以截止电 压 Uc为纵轴，画出曲线如图所 示 注意 。 1 曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率， 由图上读出的红限频率 2由图求得直线的斜率为 对比上式与 有 精确值为 图 Uc和  的关系曲线 4.0 5.0 6.00.0 0.5 1.0 Uc [V ] 1014Hz 2. 一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固 定的弦中的驻波，因而势阱宽度 a必须等于德布罗意波 的半波长的整数倍。 1 试由此求出粒子能量的本征值为 2 在核 线度 1.010-14m内的质子和中子可以当成 是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运 动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一 激发态到基态转变时，放出的能量是多少 MeV 解 在势阱中粒子德布罗意波长为 粒子的动量为 粒子的能量为 2 由上式，质子的基态能量为 n1 第一激发态的能量为 n 1,2,3 从第一激发态转变到基态所放出的能量为 讨论 实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般 就是几 MeV,上述估算和此事实大致相符。 n1 n2 n3 解 首先把给定的波函数归一化 做积分 得 3. 设粒子处于由下面波函数描述的状态 当 当 A是 正的常数。求粒子在 x轴上分布的概率密度 ; 粒子在何处出现的概率最大 因此，归一化的波函数为 当 当 归一化之后， 就代表概率密度了，即 当 当 概率最大处 即 x 0 讨论 波函数本身 无物理意义 , “测不到，看不见 ”， 是一个很抽象的概念，但是它的模的平方给我们展示 了粒子在空间 各处出现的 概率密度分布的图像。 E o a/2 x-a/2 E1 n1 4E1 n2 9E1 n3 Enψ n |ψn|2 无限深方势阱内粒子的 能级、波函数和概率密度 4.氢 原子的直径约 10-10m， 求原子中电子速度的不确 定量。 按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运 动，它的速度是多少结果说明什么问题 解 由不确定关系 估计，有 速度与其不确定度 同数量级。可见，对原 子内的电子，谈论其速 度没有意义，描述其运 动必须抛弃轨道概念， 代之以电子云图象 。 按经典力学计算 5.1 用 4 个量子数 描述 原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样 2 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n 2 时，包括几个量子态 3 写出磷 P 的电子排布，并求每个电子的轨道角 动量。 答 1 4 个量子数包括 Ø 主量子数 n， n 1, 2, 3, Ø 角量子数 l， l 0, 1, 2,, n-1 Ø 轨道磁量子数 ml， ml 0, 1, , l Ø 自旋磁量子数 ms， ms 1/2 3 按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态 内填充 1个电子 , 得磷 P的电子排布 1s22s22p63s23p3。 2 n 2 l 0 s l 1 p ml 0 ml -1 ml 0 ml 1 ms 1/2 ms 1/2 ms 1/2 ms 1/2 2n2 8 个 量子态 1s, 2s, 3s 电子轨道角动量为 2p, 3p 电子轨道角动量为 在 z 方向的投影可以为 解 1费米能量是价电子排布的最高能级对应的能量。 6. 1mol 钠原子结合成钠金属后 ,其 3s 能级形成价带。 取价带底能量 Eb -5.54eV, 如果价带内密集的能级平 6. 均间隔为 1.07610-23 eV, 求 1费米能量是多少 2用波长为 300nm 的单色光照射钠金属 , 发出光电子 的最大动能是多少 由题意 , 3s能级分裂成 N个能级 , 形成价带。该价带最 多容纳 2N2l1个电子 ,即 2N个电子。 Eb EF A 真空能级 E0 0 价 带 光照射钠时发生光电效应， 由爱因斯坦光电方程得到 钠金属发出光电子的最大动能是 2金属的逸出功是金属内的一个电子变成自由电子 所吸收的最小能量，即由费米能级向自由能级跃迁 的电子所吸收的能量。  A E0 - EF 0 - -2.30 2.30[eV]